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    The Kochen—Specker theorem states that no non-contextual hidden-variable model can reproduce the predictions of quantum theory when the dimension of the Hilbert space is three or more.

    Bell published a proof of the Kochen—Specker theorem in , in an article which had been submitted to a journal earlier than his famous Bell-inequality article, but was lost on an editor's desk for two years.

    Considerably simpler proofs than the Kochen—Specker one were given later, amongst others, by Mermin [8] [9] and by Peres. The KS theorem explores whether it is possible to embed the set of quantum-mechanical observables into a set of classical quantities, in spite of the fact that all classical quantities are mutually compatible.

    The first observation made in the Kochen—Specker article is that this is possible in a trivial way, namely, by ignoring the algebraic structure of the set of quantum-mechanical observables.

    Kochen and Specker note that this joint probability distribution is not acceptable, however, since it ignores all correlations between the observables.

    Thus, in quantum mechanics A 2 has value a k 2 if A has value a k , implying that the values of A and A 2 are highly correlated. If A 1 and A 2 are compatible commeasurable observables, then, by the same token, we should have the following two equalities:.

    The first of these is a considerable weakening compared to von Neumann's assumption that this equality should hold independently of whether A 1 and A 2 are compatible or incompatible.

    Kochen and Specker were capable of proving that a value assignment is not possible even on the basis of these weaker assumptions. In order to do so, they restricted the observables to a special class, namely, so-called yes—no observables, having only values 0 and 1, corresponding to projection operators on the eigenvectors of certain orthogonal bases of a Hilbert space.

    As long as the Hilbert space is at least three-dimensional, they were able to find a set of such projection operators, not allowing to attribute to each of them in an unambiguous way either value 0 or 1.

    Instead of the rather involved proof by Kochen and Specker, it is more illuminating to reproduce here one of the much simpler proofs given much later, which employs a lower number of projection operators, but only proves the theorem when the dimension of the Hilbert space is at least 4.

    It turns out that it is possible to obtain a similar result on the basis of a set of only 18 projection operators.

    In order to do so, it is sufficient to realize that if u 1 , u 2 , u 3 and u 4 are the four orthogonal vectors of an orthogonal basis in the four-dimensional Hilbert space, then the projection operators P 1 , P 2 , P 3 , P 4 on these vectors are all mutually commuting and, hence, correspond to compatible observables, allowing a simultaneous attribution of values 0 or 1.

    Cabello, [12] [13] extending an argument developed by Kernaghan [14] considered 9 orthogonal bases, each basis corresponding to a column of the following table, in which the basis vectors are explicitly displayed.

    The bases are chosen in such a way that each projector appears in exactly two contexts, thus establishing functional relations between contexts.

    Now the "no-go" theorem follows by making sure that the following is impossible: to place a value, either a 1 or a 0, into each compartment of the table above in such a way that:.

    As it happens, all we have to do now is ask the question, how many times should the value 1 appear in the table?

    On the one hand, a implies that 1 should appear 9 times: there are 9 columns and a says that 1 should appear exactly once per column.

    On the other hand, b implies that 1 should appear an even number of times: the compartments all come in equally colored pairs, and b says that if one member of a pair contains 1, then the other member must contain 1 as well.

    To repeat, a says that 1 appears 9 times, while b says that it appears an even number of times. Since 9 is not even, it follows that a and b are mutually contradictory; no distribution of 1s and 0s into the compartments could possibly satisfy both.

    Bell's setup involves four measurements with four outcomes four pairs of a simultaneous binary measurement in each wing of the experiment and four with two outcomes the two binary measurements in each wing of the experiment, unaccompanied , thus 24 projection operators.

    Since subquantum reality as described by the hidden-variable theory may be dependent on the measurement context, it is possible that relations between quantum-mechanical observables and hidden variables are just homomorphic rather than isomorphic.

    This would make obsolete the requirement of a context-independent value attribution. Hence, the KS theorem only excludes noncontextual hidden-variable theories.

    The possibility of contextuality has given rise to the so-called modal interpretations of quantum mechanics.

    By the KS theorem the impossibility is proven of Einstein's assumption that an element of physical reality is represented by a value of a quantum-mechanical observable.

    The value of a quantum-mechanical observable refers in the first place to the final position of the pointer of a measuring instrument, which comes into being only during the measurement, and which, for this reason, cannot play the role of an element of physical reality.

    Elements of physical reality, if existing, would seem to need a subquantum hidden-variable theory for their description rather than quantum mechanics.

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